Мое внимание привлекло в школьном учебнике определение вектора.

Вместо общепринятого и наглядного представления о нем как о направленномотрезке (именно такое определение, например, сохранилось и в "Политехническомсловаре". М., "Советская энциклопедия", 1976, стр. 71) школьников заставляютзаучивать следующее: "Вектором (параллельным переносом), определяемымпарой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства,при котором каждая точка М отображается на такую точку М₁,чтолуч ММ₁ сонаправлен с лучомАВирасстояние [ММ₁] равно расстоянию|АВ|" *.

* В.М. Клопский, 3.А. Скопец, М.И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10классов средней школы. 6-е изд. М., "Просвещение", 1980, стр.42.

Что же это? Насмешка? Или неосознанная нелепость? Нет, замена в учебникахмногих сравнительно простых, наглядных формулировок на громоздкие, нарочитоусложненные, оказывается, вызвана стремлением... усовершенствовать (!)преподавание математики.

Если бы приведенный мною пример был только досадным исключением, тоошибку, по-видимому, легко можно было бы устранить. Но, на мой взгляд,в подобное состояние, к сожалению, пришла вся система школьного математическогообразования...

Однако прежде, чем об этом говорить, целесообразно высказать предварительныезамечания о самой математике. Значение ее на наших глазах возрастает, своимиприложениями она охватывает все новые области познания и практики. Одновременнопроисходит стремительный прогресс и в ней самой. Возникнув некогда каксугубо прикладная наука и имея своим объектом пространственные формы иколичественные отношения действительного мира - то есть весьма реальныйматериал,- в ходе своего развития математика принимала все более абстрактнуюформу, которая в известной степени затушевывала ее "земное" происхождение.Ведь чтобы исследовать названные формы и отношения в чистом виде, приходилосьмысленно отделять их от содержания, оставляя его в стороне как нечто безразличное.На это не случайно указал Ф. Энгельс в своей гениальной работе "Анти-Дюринг".

Отвлекаясь от действительности, люди получили точки, лишенные измерений,линии, лишенные толщины и ширины, разные "a" и "b", "x" и"y", постоянные и переменные величины, а далее - дошли до продуктов"свободного творчества и воображения самого разума" - до мнимых величин."Носовершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только спродуктами своего собственного творчества и воображения", -  писалЭнгельс *. И выведение математических понятий друг из друга, кажущеесяне опирающимся на определенные данные и факты, доказывает не их априорноевозникновение, а лишь их рациональную связь. Нельзя не согласиться с мыслью:

"Как и все другие науки, математика возникла из практическихпотребностей людей... Но, как и во всех других областях мышления, законы,абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываютсяот реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, какявившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться. ...Чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствованаиз этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей,-и как раз только поэтому и может вообще применяться" **.

* К. Маркс и Ф.Энгельс. Соч., т. 20, стр. 37.

** Там же, стр. 37-38.

Поэтому несерьезными выглядят философствования типа, например, следующего:"Общепринято(?! - Л.П.) математику подразделять на следующие отрасли:чистую математику (или собственно математику), прикладную математику иметаматематику. В свою очередь, чистая математика подразделяется на формальнуюи содержательную математики". (Цитируется брошюра о "философских проблемахматематики", выпущенная издательством "Знание". Не называю имениавтора только потому, что брошюра вышла семь лет назад.) В математике нет"надматематических" (ведь "мета" по-гречески означает "вне", "за пределами")разделов (отраслей), равно как совершенно нелепо подразделять ее на "формальную"и "содержательную". Я отнюдь не умаляю значения специализации исследовательскойдеятельностина теоретическую и прикладную. Однако, познакомившись ближе, нетрудно убедиться,сколь тесно взаимодействие и взаимопереплетение фундаментальных изысканийи сферы их приложений. Высокий уровень абстракций современной математикиспособен гипнотизировать тех, кто не является в ней специалистом, и, очевидно,порождать в их среде досужие, мнения, неверные представления, особое почтениелишь к кабалистическим формулировкам типа приведенной мною из школьногоучебника и недоверие к ясности и простоте действительно научных утверждений.Именно подобное отношение, порожденное дилетантизмом в специальной областии одновременно узостью общего кругозора, способно послужить неблагоприятнойпочвой для принятия решений в практических делах.

Действительно, существует область математики, именуемая математическойлогикой, которая занимается изучением формальных математических высказываний,способов их построения, правилами вывода и тому подобными, точно определеннымив строгом математическом смысле действиями. Из сказанного, однако, не следует,будто есть целый раздел математики, как изображает процитированный автор,названный им "формальной математикой", в котором специалисты заняты-депроизводством практически ненужных "высказываний". Его деление "чистойматематики" на "формальную и содержательную" не имеет никакого смысла инепонятно математикам. Если же учесть, что он "перемешивает" и без тоготрудные математические понятия с туманными философскими формулировками,прибегает к неоправданным обобщениям, то просто диву даешься, какое пустословиеможно выдавать за науку на страницах массового издания.

Не тем же ли обусловлены и рассуждения о некоем "предмете философииматематики", суть-де которого составляют "свойства и отношения математики,о присущности или неприсущности которых мы (т. е. он, автор. - Л.П.) можем судить, опираясь на категории и положения философии"?Философские категории и положения у написавшего приведенные строки "выступаютв роли базиса (основания), необходимого для решения философских проблемматематики".

Боюсь, что при таком подходе автор удаляется не только от самой математики,но и от той научной философии, которая служит фундаментом господствующегов нашем обществе мировоззрения, методологии нашего познания. Действительно,рассуждения о "формальной математике" (само это выражение не может не покоробитьученого-математика) как о "совокупности формальных теорий, главнымиинтерпретациями которых являются системы математических объектов",представляются мне не иначе как словесным сором, а умозрения, что, мол,"понятиеформулы (предложения) языка является чисто синтаксическим (формальным),не опирающимся на содержание (семантику) и независимым от него", -принципиально ложными. Определение же: "Под формальной теорией понимаетсяправильное подмножество... формул формального языка" - бессмыслицей,

Все это могло бы быть только забавным, если бы не дезориентировало умы,не вносило (ввиду распространения массовым тиражом) искаженных представленийв сознание широкой читающей общественности, особенно молодежи, формирующийсяум которой особенно впечатлителен и восприимчив.

Зрелый специалист, обладающий должной профессиональной культурой, наделениммунитетом против подобных приведенным выше "идей" - он лишь ироническипожмет плечами. Ну кто, спрашивается, из математиков станет представлятьэлементарную арифметику "подмножеством... формул формального языка",как это делает данный автор? Специфической особенностью "формальных теорий",согласно ему, является то, что их "предложения" распознаются неким "эффективнымметодом" лишь "на основе их формы вне зависимости от содержания".

"Самое же главное, - пишет он, - заключается в том, что формальныетеории строятся и развиваются независимо от семантики, или интерпретаций(если не считать эвристического значения интерпретаций)".

Как это понимать?.. Да, форма может иметь специфические особенностисвоего развития, но отнюдь не независимо от логики развития содержания.

Это уже философские азы, указывать на которые просто неловко.

Абстрактность математики - производное, следствие ее специфической природы,а не наоборот; абстракция есть логический акт, производный от содержательнойдеятельности; "форма как таковая" есть определенная содержательная предметнаядеятельность, состоящая в воспроизведении стороны предметов, явлений, процессовобъективного мира; рассмотрение ее "самой по себе", вне этой предметнойдеятельности приводит в конце концов к отождествлению предмета науки сее "языком", то есть к соскальзыванию в идеализм, в метафизику. Отождествлениепредмета теории с ее формальным аппаратом приводит к тому, что математика- в представлениях горе-философов - вырождается в лингвистику (подобнотому как аналогичная тенденция приводит теоретическую лингвистику, наоборот,к отождествлению с математикой).

Не стану более задерживаться на этом вопросе, равно как и на критикенесовершенств и искажений в случайно попавшей мне в руки брошюре. Можнобыло бы привести и другие примеры - они стали возникать в большом количестве,как головастики в весенних водах, и в общем не заслуживали бы внимания.Но любой землепашец знает, сколь опасна сорная трава на культурной ниве.Если своевременно не принимать мер, она может агрессивно распространиться,забивая собою злаки. И вот что хотелось бы подчеркнуть: ложные идеи способныисказить поле сознания, стихийная цепная реакция их - породить ложные тенденциив нашей жизни. А это уже не может не тревожить.

Я думаю, любого специалиста не могут не заботить дальнейшие судьбы тойобласти, в которой протекает его деятельность, ее кадрового обеспечения.Люди, некомпетентные в математике, но имеющие отношение к организации научныхисследований и подготовке специалистов, вообще к системе просвещения иобразования, питаясь "чтивом", подобным приведенному выше, могут невольнооказаться дезориентированными и совершать ошибочные действия, чреватыедалеко идущими последствиями.

Вопрос о том, например, чем следует заниматься, стоит для самих математиков,быть может, острее, чем для представителей других областей знания. Возникшаяв свое время в ответ на практические нужды, математика имела, имеет и будетиметь своей основной задачей изучение окружающего нас материального мирас целью его дальнейшего освоения человеком. В то же время у нее, разумеется,есть и своя внутренняя логика развития, в силу которой ученые создают весьмаотвлеченные теоретические построения, не связанные непосредственнос окружающей нас действительностью и не сразу находящие для себя в нейприложения.

Мне знакомо восхищение замечательной стройностью и своеобразной красотойподобного рода построений, Однако оно не может служить единственным оправданиемих существования. Математика не музыка, красота которой доставляет радостьи широкой аудитории немузыкантов. Эстетическое наслаждение, порождаемоелишь математической красотой, способен испытать только узкий круг специалистов,и создавать ценности исключительно в этом смысле - значит заведомо искажатьвысокое предназначение математики, замкнув ее только на себя и тем самымфактически заставив работать на холостом ходу.

Я не собираюсь утверждать, что обладающие внутренней стройностью, нолишенные непосредственного практического значения разделы математики неимеют права на существование; они включены в самую ткань науки, иссечениекоторой могло бы привести к нарушению всего ее организма. Кроме того, оказывается,что некоторые отделы математики, лишенные практических приложений в течениемногих веков, позже находят такие приложения. Классическим примером служаткривые второго порядка, созданные в древности из внутренних потребностей"чистой" науки и нашедшие лишь позже очень важное применение. С другойже стороны, некоторые разделы математики, посвященные лишь ее внутреннимпроблемам, оставаясь "вещью в себе", постепенно вырождаются и почти навернякав конце концов оказываются ни для чего не нужными. Думаю, что для впавшихв грех таких математических упражнений никакие "философские" обоснования"формальной теории" не послужат ни оправданием, ни утешением. Сказанное,по-видимому, имеет и прямое отношение к "философии для философии" (бытьможет, кто-нибудь пустит выражение: "формальная философия"? Именно так,наверное, следовало бы окрестить вышеприведенные мудрствования, претендующиена "философские основания математики"). Однако дело философии не в том,чтобы созерцательно объяснять мир, и не в том, чтобы умозрительно изобретать"философские принципы" или "основания" (например, математики), а в том,чтобы исследовать предметную деятельность, служа одновременно методологическойосновой ее преобразования и руководством к практическому действию (в частности,к выбору тематики исследования),

Итак, принимая во внимание высокую степень развития сегодняшнего математическогоаппарата, а также тот факт, что прогресс математической науки стимулируетсяне только внешними по отношению к ней побудительными причинами, но и внутреннимифакторами, вопрос о выборе тематики исследований становится для математиковвесьма тревожным. Я считаю, что если не все, то во всяком случае многиеиз них должны в своей работе обращаться к первоисточникам, то есть к приложениямматематики. Это необходимо для того, чтобы влить новую свежую струю в научныеисследования, чтобы более активно применять весьма эффективные математическиеметоды на практике.

Поскольку все живое в нашей жизни имеет диалектический характер, хотелбы, подчеркивая значимость прикладных исследований, предостеречь от обращенияих в свою противоположность под внешне как будто "верной" оболочкой. Яимею в виду математическую мистификацию практических задач, от которойне бывает пользы ни уму, ни сердцу. В последнее время можно встретить,например, так называемые экономико-математические работы, насыщенные сложнойматематической символикой, но не содержащие ни одного конкретного, численногопримера,-непонятные, недоступные и фактически ненужные экономистам, а сточки зрения математиков - представляющие ничтожную ценность, либо вообщене обладающие ею.

В последнее время опасными становятся математические спекуляции в теоретическойфизике и в технических науках. Дело доходит до того, что серьезная работав области техники может быть ошельмована на том основании, что в ней нетматематических обоснований, хотя всем может быть ясна практическая пригодностьисследования. Для математики обидно, что иногда ее привлекают для бутафории,для того, чтобы спрятать бедность и немощность той или иной специальнойработы (например, в биологии и медицине). Обидно прежде всего за то, чтодействительное, правильное применение математики в специальных исследованияхможет дать весьма ощутимый эффект.

Нужно признать - и я об атом заявлял *, - что некоторые дела вобласти математики сильно запущены из-за нашей собственной беспечностии непонимания происходящего.

* "Успехи математическихнаук", том 33, вып. 6 (204), 1978, стр. 21.

* 21 марта 1979 года -статья "Этика и арифметика".

** 1979, № 3

"Нам никак не одолеть программу по математике... Многогоне понимаем, зубрежкой не все возьмешь... Такие заумные учебники... Воти ходим мы в «дебилах», как называют нас учителя..."

* 12 марта 1978 года - "Бесталанныеученики?"

О причинах данного явления я узнал из телевизионного выступления министрапросвещения СССР М.А. Прокофьева (в 1979 году). Он сообщил, что двенадцатьлет тому назад некоторыми авторитетами было признано, что математика, преподававшаясятогда в средней школе, отстала от требований времени и потому ее нужно"модернизировать". Нет слов, в определенных усовершенствованиях школьнаяматематика нуждалась, но осуществленные мероприятия не улучшили, а ухудшилиположение. В результате, в частности, возникли те учебные программы и пособия,по которым ныне и учатся математике в школе.

На одном совещании мне довелось услышать из уст академика-физика: "Совершеннопонятно, почему родители даже с инженерным образованием не понимают школьнойматематики,- ведь это современная математика, а они учили только старую..."Вот, оказывается, в чем "секрет". Тут уж у меня самого возник вопрос: зачемже детям такая математика в средней школе, что в ней не могут разобратьсядаже специалисты с высшим техническим образованием?

В современных условиях закономерно возросли требования к содержаниюпрограмм по математике и их конкретной реализации в учебниках. Осуществленныйв последние годы пересмотр содержания школьного курса математики, включениев него элементов математического анализа, теории вероятностей и так далееможно в принципе рассматривать как явление прогрессивное. Однако в основуизложения авторы ныне действующих учебников положили теоретико-множественныйподход, отличающийся повышенной степенью абстракции и предполагающийопределенную математическую культуру, которой школьники не обладают и немогут обладать. Ее нет и у большинства преподавателей. Что же в итоге произошло?Искусственное усложнение учебного материала и непомерная перегрузка учащихся,внедрение формализма в содержание обучения и отрыв его от жизни, от практики.Многие важнейшие понятия школьного курса математики (такие, как понятияфункции, уравнения, вектора и т. д.) стали труднодоступными для сознательногоусвоения их учащимися.

На определенном этапе развития математики высокоабстрактная теоретико-множественнаяконцепция ввиду ее новизны стала модной, а увлечение ею - превалироватьнад конкретными исследованиями. Но теоретико-множественный подход - лишьудобный для математиков-профессионалов язык научных исследований. Действительнаяже тенденция развития математики заключается в ее движении к конкретнымзадачам, к практике. Современные школьные учебники по математике поэтому- шаг назад в трактовке этой науки, они несостоятельны по своему существу,поскольку выхолащивают суть математического метода.

Нет ничего предосудительного в том, чтобы в средней школе употреблялось"множество" как слово русского языка. Так, определение окружности можнодать в двух вариантах.

Первый: "Окружность состоит из всех точек плоскости, отстоящих от заданнойточки на одном и том же расстоянии".

Второй: "Окружность есть множество всех точек, находящихся на заданномрасстоянии от заданной точки".

Второй вариант определения окружности ничем не хуже и не лучше первого.И слово "множество" совершенно безвредно, а, в общем, бесполезно. Но вмодернизированных учебниках и программах оно -возведено в ранг научноготермина, и это повлекло за собой уже серьезные последствия. Сразу же появилисьи такие понятия, как "пересечение множеств", "объединение множеств", "включениемножеств". И вводятся соответствующие значки. Кажущиеся нам, математикам-профессионалам,очень понятными, эти выражения и значки не так уж легко воспринимаютсяучениками, а главное-они не нужны для понимания школьных истин математики.

Стремление к большей общности, свойственное новым программам, и повсеместноеупотребление "множества" как научного термина выражается, например, в том,что геометрическая фигура определяется как "множество точек". А так какв теории множеств два множества могут быть равными, лишь полностью совпадая,то слово "равенство" уже не применимо к двум различным треугольникам. Этослово заменяется другим, не свойственным русскому языку, термином "конгруэнтность".Этот термин не употребляется в практике. Никакой строитель не будет говоритьо двух "конгруэнтных балках" (или закройщик из ателье о "конгруэнтных кускахткани"), а будет говорить о равных, или одинаковых балках (кусках ткани).

Выше мы привели неудобоваримое определение вектора. Очень характерныйпример того, как относительно простое, интуитивно ясное понятие преподноситсяпедагогически абсурдным способом. А получилось оно у авторов таким ввидутого, что прежнее определение не укладывается в теоретико-множественнуюконцепцию. Ведь вектор не есть "множество". И равенство векторов не естьтеоретико-множественное равенство. Потому в современном школьном курсегеометрии вектор и предстал как "параллельный сдвиг пространства",а сложение двух векторов - как "последовательное применение двух параллельныхсдвигов". Определения эти не только чрезвычайно сложны - они совершенноне соответствуют общепринятому аппарату физики, механики, всех техническихнаук.

Так же обстоит дело и с определением функции. Вместо того, чтобы сказать,что функция есть величина "игрэк", числовое значение которой можно найти,зная числовое значение независимой переменной "икс", - что в общем видезаписывается: у=f(х), - и дать ряд примеров ее при помощи формул,функцию определяют, по существу, как отображение одного множества на другое.Делается это, однако, в школьных учебниках куда сложнее: сперва вводитсяпонятие отношения между элементами двух различных множеств, а потом говорится,что при выполнении некоторых условий, наложенных на это отношение, последнееявляется функцией.

Новые учебники переполнены такого рода громоздкими, сложными, а главное,ненужными определениями. Математическое понятие уравнения стремятся свестик грамматическому понятию предложения. На бедные детские головы обрушиваетсяпонятие уравнения как "предложения с переменной" *. Наткнувшисьна него, я никак не мог понять, что же это значит.

* Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.С. Муравин. Алгебра. Учебник для 6-го класса среднейшколы. М., "Просвещение", 1977, стр. 12.

* Н.Я. Виленкин, К.И. Пешков, С.И. Шварцбурд, А.С. Чесноков, А.Д. Семушин. Математика.Учебник для 4-го класса средней школы. М., "Просвещение", 1979, стр. 39.

Чрезмерно абстрактный характер придан преподаванию математики уже впервых классах и уже там мешает освоению ее основного предмета - арифметики.Внедрение нарочито усложненной программы, вредной по своей сути, осуществляетсяк тому же с помощью недоброкачественных, в ряде случаев просто безграмотновыполненных учебников. Но главный порок, конечно же, в самом ложном принципе- от более совершенного его исполнения школа не выиграет.

А ведь, признаться, неплохим, в общем, был предшествующий опыт школьногообучения, неплохими были и учебники, - не случайно именно к ним обращаютсярепетиторы, подготавливая сегодня абитуриентов в вузы. Кстати говоря, неотказ ли от того положительного, что было раньше в школьном преподавании,способствовал развитию "черного рынка" репетиторства с его спекулятивнымиценами - явления возмутительного, несовместимого с нравственными принципаминашего общества.

Такого рода "стихийные бедствия" совершенно не согласуются и с принципамисоциального управления, которым неукоснительно должна следовать и нашашкольная система.

Что же касается более благополучных вариантов учебников, то есть такие- например, по геометрии, написанный академиком А.В. Погореловым *. Однакосоздается впечатление, что Министерство просвещения СССР не спешит умножитьчисло подобных примеров.

* А.В. Погорелое.Геометрия. Пособие для учителей. М., "Просвещение", 1979.

Четыре года назад крупнейший французский математик Жан Лёрэ, выступаяв Рабате на первом панафриканском Математическом конгрессе, критическиоценил постановку школьного дела в развитых капиталистических странах,отметив, что преподаватели и учебники там все с большим трудом передаютдетям те знания, которые им необходимы для жизни. Вот что сказал он о математике,преподаваемой в школах Франции:

"Развитие понятия множества в последнее время значительнорасширило область применения и силу математических методов, но значит лиэто, что преподавание математики юношам и девушкам должно быть основанона этом понятии, то есть проходить по схеме, принятой в прекрасном трактатеН. Бурбаки? Ответ может быть только отрицательным... Можно ли строить курсматематики для юношества логически на теории множеств, то есть выразитьсущность этой теории на простом и доступном языке? Во Франции это пыталисьсделать с самонадеянностью, основанной на непонимании, что не могло непривести к катастрофе...

Торжество методики, основанной на повторении многословных определений,имеет самые серьезные социальные последствия. С одной стороны, это отваживаетот научного образования способных юношей, которые лишены привилегии иметьвзрослого руководителя, способного объяснить им, что они правы, не понимаятого, что им преподают, с другой стороны, это привлекает к занятиям какраз наименее способных и думающих учеников, которые учат наизусть и повторяют,не понимая смысла...

Извращенная ситуация, в которой оказалось преподавание математическихдисциплин во Франции, в большей степени, чем в англо-саксонских странах,возникла из вполне законного стремления к прогрессу. Наши самые искренниеи цельные реформаторы не сумели отстранить от этого дела шарлатанов, которыеиспользовали их инициативу, например, тех, кто с легкостью написал толстыеучебники, полные ошибок, и получил преимущественное право на их переиздание,то есть воспроизведение ошибок. Сами учителя были подготовлены интенсивнойпропагандой... Методисты боятся потерять авторитет, если исправят допущенныеошибки.

Я прочел двум, сменившим один другого, министрам национального образованияФранции основное содержание министерских инструкций, имеющих целью ошеломитьнаших детей научными определениями прямой... Они признали, что не понимаютсами того, что предлагают в качестве обязательных инструкций, однако инструкцийне отменили".

В последние годы некоторую часть школьного курса заполнили элементывысшей математики. Поскольку она должна быть рассчитана на всех учеников,а не только на тех, кто собирается впоследствии стать профессиональнымматематиком, изложение ее должно быть достаточно ясным и простым, без лишнегоформализма. На деле же оно усложнено, перегружено ненужными фактами и недоступнопониманию школьников. Что же касается элементарной математики, то основныеее разделы весьма сокращены, излагаются неполно и не подкреплены достаточнымчислом примеров и задач. Вот и получилось, что, с одной стороны, школьникиоглушены формальным, трудно воспринимаемым материалом, по большей своейчасти ненужным, а с другой - не получают необходимых навыков в выполненииэлементарных арифметических действий и алгебраических преобразований, врешении простейших уравнений и неравенств (в том числе квадратных), обнаруживаютслабые знания тригонометрии, не умеют применять алгебру и тригонометриюдля решения геометрических задач. В сознании их возникает ложное представлениео математике как о чем-то заумном, далеком от реальной действительностии невозможном для освоения многими. Но, по-видимому, ответственных работниковсистемы просвещения не смущает насыщение школьных страниц множеством "формулформального языка".

С большой досадой приходится констатировать, что вместо того, чтобыпрививать учащимся практические умения и навыки в использовании обретаемыхзнаний, учителя подавляющую часть учебного времени тратят на разъяснениесмысла вводимых отвлеченных понятий, трудных для восприятия в силу своейабстрактной постановки, никак не "стыкующихся" с собственным опытом детейи подростков, не способствующих развитию их математического мышления и,главное, ни для кого не нужных. Вот уж где уместно наконец сказать о деленииматематики на "формальную" и "содержательную", только несколько в ином- увы, более точном - смысле, нежели писал процитированный выше философ.

Содержательная часть математики на школьных уроках действительно потесненасугубо формальной. Академики В.С. Владимиров, А.Н. Тихонов и я в журнале"Математика в школе" * писали: "Чрезмерный объем и неоправданная сложностьизложения программного материала развивают у многих учащихся неверие всвои способности, чувство неполноценности по отношению к математике. Этимотчасти объясняется снижение интереса к естественнонаучным и техническимдисциплинам... Создавшееся положение с преподаванием математики в среднейшколе требует принятия решительных мер по его исправлению".

* 1979, № 3.

Не могу не процитировать и примечательный в некотором отношении абзац:

"Следует сказать, что такие крайние выводы, первоначальновысказывавшиеся на бюро Отделения математики, при более подробном ознакомлениис вопросомне были поддержаны на общем собрании Отделения"(выделено мною. - Л.П.).

"1. Признать существующее положение со школьными программамии учебниками по математике неудовлетворительным.

2. Считать вновь представленную Министерством просвещения СССР программупо математике для средней школы неудовлетворительной.

3. Создать Комиссию по вопросам математического образования в среднейшколе при Отделении математики АН СССР..."

В постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР "О дальнейшем совершенствованииобучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки ихк труду" говорилось: "Школьные программы и учебники в ряде случаев перегруженыизлишней информацией и второстепенными материалами, что мешает выработкеу учащихся навыков самостоятельной творческой работы". Эти слова целикоми полностью относятся к ныне действующему школьному курсу математики.

Пассивную роль в создании ныне действующих учебников сыграла Академияпедагогических наук СССР, не обратив должного внимания наих качество.

Странно, что многие специалисты по методике преподавания математики,имеющие обширные научные знания, оказались бессильными понять непригодностьдля школы существующих программ. А между тем положительная инициатива школьныхучителей по совершенствованию преподавания на местах нередко глушится циркулярамиили - в лучшем случае - не поддерживается должным образом.

Принципиальное отношение к критике означает не столько словесное признаниеее, сколько конкретные действия по исправлению сложившегося положения.Цитаты из партийных документов - не мертвая буква и не модная фраза. Внашей стране стало законом жизни неукоснительное исполнение партийных игосударственных решений. В этом выражается единство слова и дела, теориии практики. Разрыв одного с другим - не что иное, как нарушение самогопринципа нашего бытия. Так понимают все советские люди неисполнение директивсвоего руководства. А это предполагает конкретность принимаемых мер.

Что касается совершенствования школьного курса математики, то он должен,во-первых, обобщать наглядные представления и практический опытучащихся и готовить их к применению математических знаний в последующейдеятельности. Во-вторых, изучение математики должно способствоватьвыработке у школьников твердых навыков устного счета, развитию логическогомышления и пространственного воображения. В-третьих, учащиеся должныовладеть теми математическими понятиями, с которыми им придется встречатьсяв практической деятельности, а вводимые термины и символы должны быть согласованыс общепринятыми в научно-технической литературе и используемыми в смежныхдисциплинах. Эти требования не представляют собой чего-то из ряда вон выходящего,напротив, они